Εδώ θα βρείτε τις λύσεις της 2ης εργασίας ΠΛΗ12, ώστε να μπορέσετε να επαληθεύσετε άμεσα τις λύσεις σας.
Άσκηση 1
α) \(\rm pr_{u_{1}}v=u_{1}\). Η μεταξύ τους γωνία είναι οξεία.
\(\rm pr_{u_{2}}v=-\frac{1}{6}u_{1}\). Η μεταξύ τους γωνία είναι αμβλεία.
\(\rm pr_{u_{2}}v=0\). Η μεταξύ τους γωνία είναι ορθή.
β) \(\rm A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{3}{7} & -\frac{2}{7} & -\frac{6}{7}\\ -\frac{6}{7} & -\frac{3}{7} & -\frac{2}{7}\\
\frac{2}{7} & -\frac{6}{7} & \frac{3}{7} \end{pmatrix}\)
γ) \(\rm \begin{Bmatrix} (1,1,1) \end{Bmatrix}\)
Άσκηση 2
α) (i) Όχι (ii) Όχι
β) \(\rm μ(x,y) = (3x-y , x)\)
γ)
(i) \(\rm A_{φ}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) , \(\rm Kerφ=\begin{Bmatrix} (3,-1,1) \end{Bmatrix}\) , \(\rm Imφ=\begin{Bmatrix} (1,0,1) & (2,1,1) \end{Bmatrix}\)
(ii) \(\rm B_{φ}=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
(iii) Όχι
Άσκηση 3
i) \(\rm A^{-1}=\frac{1}{3}(A^{2}-5A+7I)\)
iii) \(\rm V(1)=\begin{Bmatrix} (-1,0,1) & (0,α,0) \end{Bmatrix} , V(3)=\begin{Bmatrix} (1,0,1) \end{Bmatrix}\)
Άσκηση 4
α) \(\rm A_{π/4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} , A_{π/3}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix} , A_{π/6}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix}\)
\(\rm B_{π/4}=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , B_{π/3}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 1\end{pmatrix} , B_{π/6}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1\end{pmatrix}\)
γ) Για \(\rm sinθ\neq0 \) ο πίνακας \(\rm Α_{θ} \) δεν διαγωνοποιείται στο \(\rm \mathbb{R}\) καθώς δεν έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Για \(\rm sinθ=0 \) ο πίνακας έχει είτε την ιδιοτιμή 1 είτε την ιδιοτιμή -1 και είναι ήδη διαγώνιος.
Ο πίνακας \(\rm Β_{φ} \) έχει δύο πραγματικές ιδιοτιμές τις 1, -1 και άρα διαγωνοποιείται.
Άσκηση 5
α) \(\rm A=\begin{pmatrix} 5 & -2\\ -2 & 2\end{pmatrix}\)
β) \(\rm P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 2 & 1\end{pmatrix}\)
γ) \(\rm Q(y_{1},y_{2})=y_{1}^{2}+6y_{2}^{2}\)
δ) Έλλειψη με άξονες συμμετρίας τις ευθείες \(\rm y=2x \) και \(\rm y=-\frac{1}{2}x \)
Στόχος:
Το υπόδειγμα λύσεων που διανέμεται στους φοιτητές περιέχει αναλυτική επίλυση και αιτιολόγηση όλων των ερωτημάτων (και με αναφορές στη θεωρία) ώστε να αποτελεί ένα χρήσιμο εργαλείο μελέτης.Το υλικό που παρατίθεται σε αυτή την ενότητα είναι μια προσπάθεια να παρουσιάσουμε τη δουλειά μας. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο τρόπος προσέγγισης της λύσης των ασκήσεων είναι μοναδικός.
Το πλεονέκτημα των ιδιαίτερων μαθημάτων είναι ότι ο καθηγητής έχει την άνεση να εξηγήσει κάτι με περισσότερους τρόπους, ώστε να είναι σίγουρος ότι ο φοιτητής το έχει κατανοήσει απολύτως.
